(1)解:n=1時,2a
1=a
1a
2+r,
∵a
1=c≠0,
∴2c=ca
2+r,
. (1分)
n≥2時,2S
n=a
na
n+1+r,①
2S
n-1=a
n-1a
n+r,②
①-②,得2a
n=a
n(a
n+1-a
n-1).
∵a
n≠0,∴a
n+1-a
n-1=2. ( 3分)
則a
1,a
3,a
5,…,a
2n-1,…成公差為2的等差數(shù)列,
a
2n-1=a
1+2(n-1).
a
2,a
4,a
6,…,a
2n,…成公差為2的等差數(shù)列,
a
2n=a
2+2(n-1).
要使{a
n}為等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)a
2-a
1=1.
即
.r=c-c
2. ( 4分)
∵r=-6,∴c
2-c-6=0,c=-2或3.
∵當(dāng)c=-2,a
3=0,不合題意,舍去.
∴當(dāng)且僅當(dāng)c=3時,數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列. (5分)
(2)證明:a
2n-1-a
2n=[a
1+2(n-1)]-[a
2+2(n-1)]=a
1-a
2=c+
-2.
a
2n-a
2n+1=[a
2+2(n-1)]-(a
1+2n)=a
2-a
1-2=-(c+
). (8分)
∴
=
.(9分)
=-
.(10分)
∴
•n•(n+c-1)+
=
+
.(11分)
∵r>c>4,
∴
>4,
∴
>2.
∴0<
<
<1. (13分)
且
=
>-1. (14分)
又∵r>c>4,
∴
,
則0<
.
.
∴
<1.
∴
.
∴
<1.(15分)
∴對于一切n∈N*,不等式-n<P
n-Q
n<n
2+n恒成立.(16分)
分析:(1)n=1時,2a
1=a
1a
2+r,由a
1=c,知
.n≥2時,由2S
n=a
na
n+1+r,2S
n-1=a
n-1a
n+r,得2a
n=a
n(a
n+1-a
n-1).所以a
n+1-a
n-1=2.由此能夠?qū)С霎?dāng)且僅當(dāng)c=3時,數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列.
(2)由a
2n-1-a
2n=[a
1+2(n-1)]-[a
2+2(n-1)]=a
1-a
2=c+
-2.知a
2n-a
2n+1=[a
2+2(n-1)]-(a
1+2n)=a
2-a
1-2=-(c+
).所以
•n•(n+c-1)+
=
+
.由此能夠推導(dǎo)出對于一切n∈N*,不等式-n<P
n-Q
n<n
2+n恒成立.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,計(jì)算繁瑣,易出錯.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意培養(yǎng)計(jì)算能力.