Question

18．已知甲、乙、丙三種食物的維生素及成本入戲表實(shí)數(shù)：

食物類(lèi)型	甲	乙	丙
維生素C（單位/kg）	300	500	300
維生素D（單位/kg）	700	100	300
成本（元/kg）	5	4	3

某學(xué)校食堂欲將這三種食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000單位的維生素C及40000單位的維生素D．
（1）設(shè)所用食物甲、乙、丙的質(zhì)量分別為xkg，ykg，100-x-ykg（x≥0，y≥0），試列出x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）用x，y表示這100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，即可作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域．
（2）根據(jù)線性規(guī)劃的應(yīng)用進(jìn)行平移求解即可．

解答 解：（ I）因?yàn)閤≥0，y≥0，
則$\left\{\begin{array}{l}300x+500y+300（100-x-y）≥35000\\ 700x+100y+300（100-x-y）≥40000\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)為$\left\{\begin{array}{l}y≥25\\ 2x-y≥50\end{array}\right.$，
結(jié)合100-x-y≥0，
可列出x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}y≥25\\ 2x-y≥50\\ x+y≤100\end{array}\right.$，
在xOy平面中，畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示；…（7分）
（ II）這100kg混合食物的成本z=5x+4y+3（100-x-y）=2x+y+300，平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，
頂點(diǎn)為A（37.5，25），B（50，50），C（75，25），
目標(biāo)函數(shù)z=2x+y+300在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（37.5，25）時(shí)，z取得最小值400元．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．