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20.拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)直線(xiàn)x-y-2=0上點(diǎn)M作C的兩條切線(xiàn)MA、MB(A、B為切點(diǎn)),若|AF|•|BF|的最小值為8,則p=( �。�
A.1B.3C.2D.4

分析 求出切線(xiàn)方程,再利用拋物線(xiàn)的定義,即可得出結(jié)論.

解答 解:設(shè)A(x1,12px12),B(x2,12px22),
由拋物線(xiàn)C:x2=2py得拋物線(xiàn)C的方程為y=12px2,∴y′=xp
∴MA:y-12px12=x1p(x-x1)①,MB::y-12px22=x2p(x-x2)②
聯(lián)立①②可得x1,x2是方程t2-2xt+2py=0的兩個(gè)根,
∴x1+x2=2x,x1x2=2py
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,有|AF||BF|=|12px12+p2||12px22+p2|=|2x2+(-4-p)x+4+2p+p24|
∴x=p+44時(shí),|AF|•|BF|的最小值為|p+428|=8,∴p=4.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題以?huà)佄锞€(xiàn)為載體,考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程,考查計(jì)算能力,有一定的綜合性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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