Question

20．拋物線(xiàn)C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)直線(xiàn)x-y-2=0上點(diǎn)M作C的兩條切線(xiàn)MA、MB（A、B為切點(diǎn)），若|AF|•|BF|的最小值為8，則p=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出切線(xiàn)方程，再利用拋物線(xiàn)的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），
由拋物線(xiàn)C：x²=2py得拋物線(xiàn)C的方程為y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$
∴MA：y-$\frac{1}{2p}$x₁²=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）①，MB：：y-$\frac{1}{2p}$x₂²=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）②
聯(lián)立①②可得x₁，x₂是方程t²-2xt+2py=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2x，x₁x₂=2py
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，有|AF||BF|=|$\frac{1}{2p}$x₁²+$\frac{p}{2}$||$\frac{1}{2p}$x₂²+$\frac{p}{2}$|=|2x²+（-4-p）x+4+2p+$\frac{{p}^{2}}{4}$|
∴x=$\frac{p+4}{4}$時(shí)，|AF|•|BF|的最小值為|$\frac{（p+4）^{2}}{8}$|=8，∴p=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以?huà)佄锞€(xiàn)為載體，考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，考查計(jì)算能力，有一定的綜合性．