【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)如果對于任意的,都有成立,試求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)第一步,在定義域內(nèi)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通分化簡,第二步,根據(jù)定義域,,參數(shù)分和兩大類情況進(jìn)行討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù),分析函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)根據(jù)已知條件的分析,若要不等式恒成立,只需滿足,所以第一步,求函數(shù)在給定區(qū)間的最大值,利用導(dǎo)數(shù);第二步,根據(jù)函數(shù)最大值是1,所以,然后反解,得到,第三步,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.此題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,求單調(diào)區(qū)間,主要討論參數(shù)的取值,恒成立,轉(zhuǎn)化為最值問題.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),若,則,函數(shù)單調(diào)遞增;
若,則,函數(shù)單調(diào)遞減;
所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(Ⅱ),,
可見,當(dāng)時(shí),,在區(qū)間單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,在區(qū)間單調(diào)遞減,
而,所以,在區(qū)間上的最大值是1,
依題意,只需當(dāng)時(shí),恒成立,
即恒成立,亦即;
令,
則,顯然,
當(dāng)時(shí),,,,
即在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,,,上單調(diào)遞減;
所以,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得最大值,
故,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中均為實(shí)數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)求函數(shù)的極值;
(II)設(shè),若對任意的,
恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)猜測的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬實(shí)驗(yàn),準(zhǔn)備用、、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨,其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表:
方式 | 實(shí)施地點(diǎn) | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù) |
甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 | |
乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 | |
丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定對甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響,請你根據(jù)人工降雨模擬實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;
(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑,并判斷是有限集,還是無限集?
(1)方程(x+1) (x2-2)(x2+1)=0的有理根組成的集合A;
(2)被3除余1的自然數(shù)組成的集合;
(3)坐標(biāo)平面內(nèi),不在第一,三象限的點(diǎn)的集合;
(4)自然數(shù)的平方組成的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小組共有五位同學(xué),他們的身高(單位:米)以及體重指標(biāo)(單位:千克、米2).如下表所示:
(1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人,求選到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)從該小組同學(xué)中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中x∈[2,+∞).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A,B兩城相距100 km,在兩地之間距A城x km處的D地建一核電站給A,B兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10 km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城為10億度/月.
(1)求x的取值范圍;
(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù);
(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn),才能使供電費(fèi)用最小?
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