【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+2ax.
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) ex-y+1=0;(2) [ln 2-1,+∞).
【解析】試題分析:
(1)由函數(shù)的解析式可得f′(1)=e,f(1)=e+1,據(jù)此可得切線方程為ex-y+1=0.
(2)f′(x)=ex-2x+2a,則原問(wèn)題等價(jià)于a≥x-在R上恒成立,令g(x)=x-,求導(dǎo)可得g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,則g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).
試題解析:
(1)函數(shù)的解析式:f(x)=ex-x2+2x,
f′(x)=ex-2x+2,∴f′(1)=e,又f(1)=e+1,
∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f′(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上單調(diào)遞增,∴f′(x)≥0在R上恒成立,
∴a≥x-在R上恒成立,令g(x)=x-,
則g′(x)=1-,令g′(x)=0,則x=ln 2,
在(-∞,ln 2)上,g′(x)>0;在(ln 2,+∞)上,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.
(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PAB,并說(shuō)明理由;
(2)證明:平面PAB⊥平面PBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷f(x)的奇偶性,說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)x>0時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明;
(3)若f(2t)-mf(t)>0對(duì)于t∈(0,+∞)恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一塊正方形EFGH,EH所在直線是一條小河,收獲的蔬菜可送到F點(diǎn)或河邊運(yùn)走.于是,菜地分別為兩個(gè)區(qū)域S1和S2 , 其中S1中的蔬菜運(yùn)到河邊較近,S2中的蔬菜運(yùn)到F點(diǎn)較近,而菜地內(nèi)S1和S2的分界線C上的點(diǎn)到河邊與到F點(diǎn)的距離相等,現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系,其中原點(diǎn)O為EF的中點(diǎn),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),如圖
(1)求菜地內(nèi)的分界線C的方程;
(2)菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出S1面積是S2面積的兩倍,由此得到S1面積的經(jīng)驗(yàn)值為 .設(shè)M是C上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算以EH為一邊,另一邊過(guò)點(diǎn)M的矩形的面積,及五邊形EOMGH的面積,并判斷哪一個(gè)更接近于S1面積的經(jīng)驗(yàn)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線()與軸交于點(diǎn),動(dòng)圓與直線相切,并且與圓相外切,
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程;
(2)若過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn),問(wèn)是否存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′( , );當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身,平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱,則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫(xiě)出所有真命題的序列).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
求函數(shù)的解析式;
若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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