Question

已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)M為曲線y=

x+2

上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)；點(diǎn)P的軌跡為C；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程F（x，y）=0；
（2）將軌跡C的方程變形為函數(shù)y=f（x）；請(qǐng)寫出此函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、最值等（不證明），并畫出大致圖象．
（3）若直線l：y=

x

10

+1與軌跡C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)B，K，且點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

1

8

，0)，求|BG|+|KG|的值．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，設(shè)M（x₁，y₁），P（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入書籍的解析式即可求出點(diǎn)P的軌跡為C；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式寫出數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、最值等，圖象如圖；
（3）設(shè)B（x₁，y₁），k（x₂，y₂），將直線與軌跡C聯(lián)立求得有y₁+y₂=5，y₁y₂=5，再由拋物線的性質(zhì)得到|BG|+|KG|=x1+x2+

1

8

+ 

1

8

=2y1 2+2y2 2+

1

4

=（y₁₊y₂）²-4y₁y₂+

1

4

即可求得|BG|+|KG|的值．

解答：解：（1）已知點(diǎn)P為AM的中點(diǎn)，設(shè)M（x₁，y₁），P（x，y）
則

x= x1+2 2 y= y1 2

得

x1=2x-2 y1=2y

∵點(diǎn)M為曲線y=

x+2

上任意一點(diǎn)

y1=

x1+2?

即2y=

2x-2y+2

，即y=

2

2

x

故軌跡C的方程是y=

2

2

x

（2）y=f（x）=

2

2

x

，此函數(shù)的性質(zhì)如下，圖象如圖；

（3）由直線l與軌跡C相交于B（x₁，y₁），k（x₂，y₂），得

y= 2 2 x y= x 10 +1

，消元得y²-5y+5=0，故有y₁+y₂=5，y₁y₂=5
軌跡C是拋物線y2=

x

2

（y≥0）的一部分，此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

8

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

8

所以|BG|+|KG|=x1+x2+

1

8

+ 

1

8

=2y1 2+2y2 2+

1

4

=（y₁₊y₂）²-4y₁y₂+

1

4

=30

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件靈活選用方法，求得軌跡C的方程，再由其方程對(duì)應(yīng)的曲線的類型選擇求值的方法．