Question

已知函數(shù)滿(mǎn)足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）定義對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，令設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：S_n＞ln（n+1）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得2a+b=2；
又，有且僅有一個(gè)解，
即ax²+（b-1）x=0，有唯一解滿(mǎn)足ax+b≠0．
∵a≠0，∴當(dāng)△=（b-1）²=0時(shí)，b=1，x=0，則，此時(shí)，
又當(dāng)△=（b-1）²≠0時(shí)，，因?yàn)閍x₁+b=1≠0，
所以ax₂+b=b=0，則a=1，此時(shí)
綜上所述，，或者f（x）=1（x≠0）；

（Ⅱ）a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*，當(dāng)f（x）=1時(shí)，a_n+1=1，不合題意，
則，，
∴，
則，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴，則，所以
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=ln（n+1），則c₁=T₁=ln2＜lne=1
當(dāng)n≥2時(shí)，，要證明
令，只要證明：lnt＜t-1，其中t＞1．
令g（x）=x-1-lnx（x≥1），則，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，即x-1＞lnx（x＞1），所以，
則．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知2a+b=2．當(dāng)△=（b-1）²=0時(shí)，b=1，，；當(dāng)△=（b-1）²≠0時(shí)，a=1，f（x）=1（x≠0）．
（Ⅱ）由題意知當(dāng)f（x）=1時(shí)，a_n+1=1，不合題意，所以，，∴，由此可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知，，所以，，再用分析法證明S_n＞ln（n+1）．
點(diǎn)評(píng)：也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，為此，先證明，即證：lnt＜t-1，其中t＞1．