Question

20．已知拋物線C₁：y²=4x的焦點為F，點P為拋物線上一點，且|PF|=3，雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線恰好過P點，則雙曲線C₂的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義可得P的坐標(biāo)，求得雙曲線的漸近線方程，代入點P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線C₁：y²=4x的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
|PF|=3，由拋物線的定義可得x_P+1=3，
即有x_P=2，y_P=±2$\sqrt{2}$，即P（2，±2$\sqrt{2}$），
雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得2$\sqrt{2}$=$\frac{2b}{a}$，
即b=$\sqrt{2}$a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用拋物線的定義，以及雙曲線的漸近線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．