(2012•湖南模擬)某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過9萬元,同時獎金不超過投資收益的20%.
(Ⅰ)請分析函數(shù)y=
x
150
+2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因;
(Ⅱ)若該公司采用函數(shù)模型y=
10x-3a
x+2
作為獎勵函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.
分析:(Ⅰ)設(shè)獎勵函數(shù)模型為y=f(x),根據(jù)“獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,說明在定義域上是增函數(shù),且獎金不超過9萬元,即f(x)≤9,同時獎金不超過投資收益的20%.即f(x)≤
x
5

(Ⅱ)先將函數(shù)解析式進行化簡,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,以及使g(x)≤9對x∈[10,1000]恒成立以及使g(x)≤
x
5
對x∈[10,1000]恒成立,建立不等式,求出相應(yīng)的a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)對于函數(shù)模型f(x)=
x
150
+2
當x∈[10,1000]時,f(x)為增函數(shù)  …(2分)
f(x)max=f(1000)=
1000
150
+2=
20
3
+2<9,所以f(x)≤9恒成立;…(4分)
但當x=10時,f(10)=
1
15
+2>
10
5
,即f(x)≤
x
5
不恒成立
故函數(shù)模型y=
x
150
+2不符合公司要求…(6分)
(Ⅱ)對于函數(shù)模型g(x)=
10x-3a
x+2
,即g(x)=10-
3a+20
x+2

當3a+20>0,即a>-
20
3
時遞增…(8分)
為使g(x)≤9對x∈[10,1000]恒成立,即要g(1000)≤9,3a+18≥1000,
即a≥
982
3
…(10分)
為使g(x)≤
x
5
對x∈[10,1000]恒成立,即要
10x-3a
x+2
x
5
,即x2-48x+15a≥0恒成立,
即(x-24)2+15a-576≥0(x∈[10,1000])恒成立,又x=24∈[10.1000],
故只需15a-576≥0即可,
所以a≥
192
5
…(12分)
綜上所述,a≥
982
3
,所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328…(13分)
點評:本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,以及函數(shù)的最值得應(yīng)用,同時考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,以及轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)

(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)記φ(x)=f′(x-1)-k(x-1),若函數(shù)φ(x)有兩個零點x1,x2(x1<x2),求證:φ′(
x1+x2
2
)>0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知向量
m
=(2cos2x,
3
),
n
=(1,sin2x)
,函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=3,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的導函數(shù)f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)的導函數(shù)f″(x),若在區(qū)間(a,b)上的f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
,若當實數(shù)m滿足|m|≤2時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x<-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x>
1
2
)
(x∈R),
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命題p:關(guān)于x的不等式f(x)≥m2+2m-2對任意x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=(m2-1)x是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湖南模擬)設(shè)曲線y=xn+1(n∈N)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013

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