Question

20．已知函數(shù)f（x）=x|x-1|
（1）畫出該函數(shù)的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)0＜a＜1，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)，利用二次函數(shù)圖象的作法，可得該函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)0＜a＜1，分類討論，即可求f（x）在[0，a]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x（x≥1）}\\{x-{x}^{2}（x＜1）}\end{array}\right.$，如圖所示

$（2）由圖象得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（{-∞，\frac{1}{2}}），（{1，+∞}）；減區(qū)間為（{\frac{1}{2}，1}）$；
$（3）當(dāng)0＜a＜\frac{1}{2}時，f（x）在[{0，a}]上，f{（x）_{max}}=f（a）=a-{a^2}$；
$當(dāng)\frac{1}{2}≤a＜1時，f（x）在[{0，a}]上，f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．