Question

已知f（x）=log_ax（0＜a＜1），{a_n}，若數(shù)列{a_n}使得2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n•f（a_n），若{b_n}的前n項和是S_n，且

2a4

1-a2

＜1，求證：Sn+

2na2n+4

1-a2

＜3．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)題中已知條件先求出等差數(shù)列的公差d=2，將d=2 代入f（a_n）中即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）、根據(jù)（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項公式先求出b_n的通項公式，進而求出S_n的表達式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可證明S_n+

2na2n+4

1-a2

＜3．

解答：解：設(shè)2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4的公差為d，
則2n+4=2+（n+2-1）d，
∴d=2，（2分）
∴f（a_n）=2+（n+1-1）d=2+nd=2n+2，∴l(xiāng)og_aa_n=2n+2，
∴a_n=a²ⁿ⁺²．（4分）

（2）∵b_n=a_n•f（a_n）=a²ⁿ⁺²•log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
∴S_n=4a⁴+6a⁶+…+2n•a²ⁿ+（2n+2）a²ⁿ⁺²
∴a²S_n=4a⁶+6a⁸+…+（2n-2）•a²ⁿ+2n•a²ⁿ⁺²+（2n+2）a²ⁿ⁺⁴
（1-a²）S_n=4a⁴+2[a⁶+…+a²ⁿ⁺²]-（2n+2）a²ⁿ⁺⁴，
∵a≠1，
∴Sn=

2a4(1-a2n)

(1-a2)2

+

2a4-(2n+2)a2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

[

1-a2n

1-a2

+1-(n+1)a2n]，（8分）
∵

2a4

1-a2

＜1，又0＜a＜1⇒2a4+a2-1=(2a2-1)(a2+1)＜0，
故2a2-1＜0，解得，0＜a＜

2

2

(10分)
∵

2a4

1-a2

＜1，又a2n＞0，
∴Sn+

2na2n+4

1-a2

=

2a4

1-a2

(

1-a2n

1-a2

+1-a2n)(11分)
＜

1-a2n

1+a2

+1-a2n(12分)
＜

1

1-a2

+1(13分)

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學生的計算能力和對數(shù)列與不等式的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．