Question

已知函數(shù)f（x）=x²+aln x．
（I）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導函數(shù)，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，求出單調區(qū)間及函數(shù)的極值．
（II）令g（x）的導數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，構造新函數(shù)，通過導數(shù)求出新函數(shù)的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范圍．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當x變化時，f′（x），f（x）的值變化情況如下表

由上表可知，函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間是（0，1），單調遞增區(qū)間是（1，+∞）
極小值是f（1）=1，沒有極大值
（2）由g(x)=x2+alnx+

2

x

得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

因為g（x）在[1，+∞）上是單調增函數(shù)
所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即不等式2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥ 

2

x

 -2x2在[1，+∞）上恒成立
令∅(x)=

2

x

-2x2則∅′(x)=-

2

x2

-4x當x∈[1，+∞）時，∅′(x)=-

2

x2

-4x＜0
∴∅(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上為減函數(shù)
∅（x）的最大值為∅（1）=0
∴a≥0
故a的取值范圍為[0，+∞）

點評：求使函數(shù)單調的參數(shù)的范圍時，若函數(shù)單增則令其導數(shù)大于等于0恒成立；若單減，則令其導數(shù)小于等于0恒成立．