若A、B分別是橢圓
x2
a2+1
+y2=1 (a＞0)與x、y正半軸的交點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，且△AFB的面積為
1
4
，則實(shí)數(shù)a=
3
4
3
4
．
分析：由題設(shè)條件及橢圓的性質(zhì)知△AFB的面積，故可以將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓短軸的長度與焦距，兩者乘積的一半即△AFB的面積．
解答：解：橢圓
x2
a2+1
+y2=1 (a＞0)，故半長軸長=
a 2+1
，b=1，由a2=b2+c2，可解得c=a，
△AFB的面積為S=
1
2
cb=
1
2
×
a 2+1
=
1
4
，⇒a=
3
4

故答案為：
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件得出a，b，c三個(gè)量之間的關(guān)系，由此關(guān)系求出橢圓的焦距與短軸的長度，由公式求出△AFB的面積．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•武昌區(qū)模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的中心、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓數(shù)學(xué)公式的中心、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若A、B分別是橢圓
x2
a2+1
+y2=1 (a＞0)與x、y正半軸的交點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，且△AFB的面積為
1
4
，則實(shí)數(shù)a=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：武昌區(qū)模擬 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的中心、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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