【題目】在四棱錐中,側(cè)面底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,,,,,E,F分別為AD,PC的中點(diǎn).
Ⅰ求證:平面BEF;
Ⅱ若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】
(1)連接交于,并連接,,由空間幾何關(guān)系可證得,利用線面平行的判斷定理可得平面.
(2)(法一)取中點(diǎn),連,,,由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計(jì)算可得二面角的余弦值為.
(法二)以為原點(diǎn),、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系,則平面法向量可。,平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計(jì)算可得二面角的余弦值為.
(1)連接交于,并連接,,
,,為中點(diǎn), ,且,
四邊形為平行四邊形, 為中點(diǎn),又為中點(diǎn),
, 平面,平面,平面.
(2)(法一)由為正方形可得, .
取中點(diǎn),連,,,側(cè)面 底面,且交于, ,
面,又,為二面角的平面角,
又,,,
,所以二面角的余弦值為.
(法二)由題意可知 面, ,如圖所示,以為原點(diǎn),、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系,則,,,.
平面法向量可取:,
平面中,設(shè)法向量為,則 ,
取,
,所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時(shí),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司利用線上、實(shí)體店線下銷售產(chǎn)品,產(chǎn)品在上市天內(nèi)全部售完.據(jù)統(tǒng)計(jì),線上日銷售量、線下日銷售量(單位:件)與上市時(shí)間 天的關(guān)系滿足: ,產(chǎn)品每件的銷售利潤為(單位:元)(日銷售量線上日銷售量線下日銷售量).
(1)設(shè)該公司產(chǎn)品的日銷售利潤為,寫出的函數(shù)解析式;
(2)產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用符號“”或“”填空:
(1)設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合,則中國______________A,美國__________A,印度____________A,英國_____________A;
(2)若,則-1_____________A;
(3)若,則3________________B;
(4)若,則8_______________C,9.1____________C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對食堂伙食的滿意程度,組織學(xué)生給食堂打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù),滿分100分),從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本,發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下組:,,,,,,并畫出了樣本的頻率分布直方圖,部分圖形如圖所示.觀察圖形,回答下列問題:
(1)算出第三組的頻數(shù),并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)請根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的眾數(shù)和平均數(shù),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市理論預(yù)測2014年到2018年人口總數(shù)(單位:十萬)與年份(用表示)的關(guān)系如表所示:
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程;
(3)據(jù)此估計(jì)2019年該城市人口總數(shù).
(參考數(shù)據(jù): )
參考公式:線性回歸方程為,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:如果對任意的x1,x2∈R,都有f(),則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù),已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)
(1)當(dāng)a=1,x∈[﹣2,2]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(2)當(dāng)a=1時(shí),試判斷函數(shù)f(x)是否為凹函數(shù),并說明理由;
(3)如果函數(shù)f(x)對任意的x∈[0,1]時(shí),都有|f(x)|≤1,試求實(shí)數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)為整數(shù),且對于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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