Question

已知數列{a_n}，S_n是前n項的和，且滿足a₁=2，對一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，設b_n=a_n+n．
（1）求a₂；
（2）求證：數列{b_n}是等比數列；
（3）求

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

）的值．

Answer 1

考點：數列的極限,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據a₁=2，對一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，令n=1，求得a₂ 的值．
（2）由S_n+1=3S_n+n²+2，可得S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，兩式相見可得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n） ①．結合條件可得b_n+1=3b_n，從而證得數列{b_n}是公比為3的等比數列．
（3）求出{b_n }的通項公式，再利用等比數列的前n項和公式求得

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

的值，從而求得所求式子的值．

解答： 解：（1）∵a₁=2，對一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，
令n=1，可得 2+a₂=3×2+1+2，求得a₂=7．
（2）證明：∵S_n+1=3S_n+n²+2，∴S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，
∴兩式相見可得a_n+1=3a_n+2n-1，即a_n+1+（n+1）=3a_n+2n-1+（n+1）=3（a_n+n） ①．
又b_n=a_n+n，∴由①可得 b_n+1=3（a_n+1+n）=3b_n，∴數列{b_n}是公比為3的等比數列．
（3）由于b₁=a₁+1=3，故b_n=3×3^n-1=3ⁿ，
∴

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

=

1

3

+

1

33

+

1

35

+…+

1

32n-1

=

1 3 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

=

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n，
∴

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b3

+…+

1

b2n-1

）=

lim

n→∞

 （

3

8

-

3

8

×(

1

9

)n ）=

3

8

．

點評：本題主要考查等比關系的確定，等比數列的前n項和公式的應用，求數列的極限，屬于中檔題．