已知α,β是方程4x2-4kx-1=0(k∈R)的兩個(gè)不等實(shí)根,函數(shù)f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域?yàn)閇α,β].
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并證明.
(Ⅱ)記:g(k)=maxf(x)-minf(x),若對(duì)任意k∈R,恒有g(k)≤a•
1+k2
成立,
求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.
分析:(Ⅰ)證一:根據(jù)題意可設(shè)α≤x1<x2≤β,利用4x12-4tx1-1≤0,4x22-4tx2-1≤0,求得2x1x2-t(x1+x2)-
1
2
<0
,從而可判斷f(x2)-f(x1)=
(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]
(
x
2
2
+1)(
x
2
1
+1)
的符號(hào),即可判斷函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
證二:可求f′(x),利用x∈[α,β]時(shí),4x2-4kx-1≤0可得-2x2+2kx+2≥
3
2
,從而可判斷f′(x)的符號(hào),可以判斷函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間[α,β]上是增函數(shù),maxf(x)=f(β),minf(x)=f(α),g(k)=f(β)-f(α)=
k2+1
(16k2+40)
16k2+25
≤a•
1+k2
,分離出a,即整理成k是a的函數(shù),利用基本不等式可求得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)證一:設(shè)α≤x1<x2≤β,則4x12-4tx1-1≤0,4x22-4tx2-1≤0,
4(
x
2
1
+
x
2
2
)-4t(x1+x2)-2≤0,  ∴2x1x2-t(x1+x2)-
1
2
<0

f(x2)-f(x1)=
2x2-t
x
2
2
+1
-
2x1-t
x
2
1
+1
=
(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]
(
x
2
2
+1)(
x
2
1
+1)

t(x1+x2)-2x1x2+2>t(x1+x2)-2x1x2+
1
2
>0  ∴f(x2)-f(x1)>0

故f(x)在區(qū)間[α,β]上是增函數(shù).       ….….(6分)
證二:f(x)=
-2x2+2kx+2
(x2+1)2
,x∈[
k-
k2+1
2
,
k+
k2+1
2
]

易知:當(dāng)x∈[α,β]時(shí),4x2-4kx-1≤0,∴-2x2+2kx+2≥
3
2
f(x)≥0

故f(x)在區(qū)間[α,β]上是增函數(shù).
(Ⅱ)g(k)=f(β)-f(α)=
k2+1
(16k2+40)
16k2+25
≤a•
1+k2
恒成立.a≥
16k2+40
16k2+25
=1+
15
16k2+25
,考慮
15
16k2+25
的最大值為
3
5
,∴a≥
8
5
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)性及其證明,難點(diǎn)在于證法一中“2x1x2-k(x1+x2)-
1
2
”符號(hào)的確定及證法二中“-2x2+2kx+2≥
3
2
”的分析,考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.
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b
a
x1x2=
c
a
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(1)求mn的值;
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