Question

簡(jiǎn)答題 如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF的方程為且PA⊥PF． (1) 求直線PA方程； (2) 設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于│MB│，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：由題意知A(－6，0)…………1分 ∵PA⊥PF，直線PF的方程為x＋y－3＝0 ∴直線PA的斜率為k＝…………3分 ∴直線PA的方程為y＝(x＋6) 即x－3y＋6＝0即x－y＋6＝0…………5分

(2)

解：設(shè)M(m，0)，(－6≤m≤6)，則M到PA的距離為， │MB│＝│6－m│ 依題意得＝│6－m│…………7分 ∵－6≤m≤6 ∴m＝2(或可通過(guò)方程兩邊平方求得m＝2) ∴M(2，0)…………9分 　　法1：設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)(x∈[－6，6])到M(2，0)的距離為d，則 d2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋20－x2…………11分 ＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝x2－4x＋24 ＝(x－)2＋15…………12分 ∵x∈[－6，6]，∴當(dāng)x＝時(shí)，d2最小，此時(shí)d│min＝……13分 　　法2：設(shè)橢圓上的點(diǎn)(6cosθ，2sinθ)到M(2，0)的距離為d．則…10分 d2＝(6cosθ－2)2＋(2sinθ)2…………11分 ＝36cos2θ－24cosθ＋4＋20sin2θ ＝16cos2θ－24cosθ＋24 ＝16…………12分 ∵θ∈R∴當(dāng)cosθ＝時(shí)，d2最小，此時(shí)d│min＝……13分