Question

12．如圖，已知F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P在第一象限，且滿足（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|=a，線段PF₂與雙曲線C交于點Q，若$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{1}{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$x
• C． y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 連接F₁Q，由向量共線定理可得|F₂Q|=$\frac{a}{5}$，|PQ|=$\frac{4a}{5}$，由雙曲線的定義可得|F₁Q|=$\frac{11a}{5}$，運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得|F₁F₂|=|F₁P|=2c，在△F₁PQ和△QF₁F₂中，由∠PQF₁+∠F₂QF₁=π，可得cos∠PQF₁+cos∠F₂QF₁=0，運用余弦定理，化簡整理可得b=$\frac{1}{2}$a，運用雙曲線的漸近線方程即可得到．

解答 解：連接F₁Q，由|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|=a，$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，
可得|F₂Q|=$\frac{a}{5}$，|PQ|=$\frac{4a}{5}$，
由雙曲線的定義可得|F₁Q|-|F₂Q|=2a，
即有|F₁Q|=$\frac{11a}{5}$，
由（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
即為（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{1}P}$-$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）=0，
即有$\overrightarrow{{F}_{1}P}$²-$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$²=0，|F₁F₂|=|F₁P|=2c，
在△F₁PQ和△QF₁F₂中，由∠PQF₁+∠F₂QF₁=π，可得cos∠PQF₁+cos∠F₂QF₁=0，
由余弦定理可得，$\frac{（\frac{11a}{5}）^{2}+（\frac{4a}{5}）^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{11a}{5}•\frac{4a}{5}}$+$\frac{（\frac{a}{5}）^{2}+（\frac{11a}{5}）^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{a}{5}•\frac{11a}{5}}$=0，化簡可得c²=$\frac{5}{4}$a²，
由c²=a²+b²，可得b=$\frac{1}{2}$a，可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即為y=±$\frac{1}{2}$x．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用三角形中的余弦定理，同時考查向量數(shù)量積的性質(zhì)和向量共線定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．