Question

設(shè)項(xiàng)數(shù)均為k（k≥2，k∈N^*）的數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n項(xiàng)的和分別為S_n、T_n、U_n．已知集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若Sn-Tn=2n+2n（1≤n≤k，n∈N^*），試研究k=4和k≥6時(shí)是否存在符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}），并說(shuō)明理由；
（3）若an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，對(duì)于固定的k，求證：符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）有偶數(shù)對(duì)．

Answer 1

分析：（1）由Un=2n+2n，分別求出n=1時(shí)c₁的值和n≥2時(shí)數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，驗(yàn)證c₁后寫出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由Sn-Tn=2n+2n，取n=1時(shí)得到a₁-b₁=S₁-T₁=4，寫出n≥2時(shí)的a_n-b_n，然后驗(yàn)證n=4時(shí)存在符合條件的數(shù)列對(duì)，當(dāng)n≥6時(shí)，借助于不等式放縮及二項(xiàng)式定理可說(shuō)明不存在符合條件的數(shù)列對(duì)；
（3）令d_n=4k+2-b_n，e_n=4k+2-a_n（1≤n≤k，n∈N^*），易驗(yàn)證a_n，b_n與d_n，c_n分別成對(duì)滿足條件an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，當(dāng)a_n與d_n交換時(shí)得到矛盾式子，說(shuō)明符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）有偶數(shù)對(duì)．

解答：解：（1）已知Un=2n+2n，
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=U₁=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，cn=Un-Un-1=2n+2n-2(n-1)-2n-1=2+2n-1，
經(jīng)驗(yàn)證c₁=4不適合上式，
故cn=

4，  n=1 2+2n-1，  2≤n≤k

；
（2）Sn-Tn=2n+2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁-b₁=S₁-T₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-b_n=（S_n-S_n-1）-（T_n-T_n-1）
=（S_n-T_n）-（S_n-1-T_n-1）=2n+2ⁿ-2（n-1）-2^n-1=2+2^n-1，
當(dāng)k=4時(shí)，a₁-b₁=4，a₂-b₂=4，a₃-b₃=6，a₄-b₄=10，
{a₁，a₂，a₃，a₄，b₁，b₂，b₃，b₄}={2，4，6，8，10，12，14，16}
數(shù)列{a_n}、{b_n}可以為（不唯一）：
①6，12，16，14；2，8，10，4；
②16，10，8，14；12，6，2，4．
當(dāng)k≥6時(shí)，ak=bk+2+2k-1＞2+2k-1=2+(1+1)k-1
=2+

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

+…+

C

k-2 k-1

+

C

k-1 k-1

≥2+2(

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

)=k2-k+4
=（k-1）（k-4）+4k＞4k
此時(shí)a_k不存在．故數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）不存在；
（3）令d_n-e_n=（4k+2-b_n）-（4k+2-a_n）=a_n-b_n=2n，
又{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k}，得
{4k+2-a₁，4k+2-a₂，…，4k+2-a_k，4k+2-b₁，4k+2-b₂，…，4k+2-b_k}
={2，4，6，…，4k}，
∴數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）與（{d_n}，{e_n}）成對(duì)出現(xiàn)． 
假設(shè)數(shù)列{a_n}與{d_n}相同，則由d₂=4k+2-b₂=a₂及a₂-b₂=4，得
a₂=2k+3，b₂=2k-1，均為奇數(shù)，矛盾．
故符合條件的數(shù)列對(duì)（{a_n}，{b_n}）有偶數(shù)對(duì)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，是性定義題，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，屬有一定難度題目．