Question

17．在二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項不相鄰的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 由二項式系數(shù)的性質(zhì)得到n的值，由通項公式可得展開式中的有理項的個數(shù)，求出9項的全排列數(shù)，由插空排列求出有理項都互不相鄰的排列數(shù)，最后由古典概型概率計算公式得答案．

解答 解：∵二項式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，
∴二項式的二項展開式共有9項，則n=8．
其通項為T_k+1=${C}_{8}^{k}$•（$\sqrt{x}$）^8-k•（$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=$\frac{1}{{2}^{k}}$•${C}_{8}^{k}$•$\frac{16-3k}{4}$，
當r=0，4，8時，項為有理項．
展開式的9項全排列共有 ${A}_{9}^{9}$種，
有理項互不相鄰可把6個無理項全排，把3個有理項在形成的7個空中插孔即可，有 ${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{3}$種．
∴有理項都互不相鄰的概率為$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故選：D．

點評 本題考查排列組合及簡單計數(shù)問題以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用古典概型概率計算公式求概率，本題解題的關(guān)鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，屬于中檔題．