Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數f(x)=2xtan2α+sin(2α+

π

4

)，數列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求證：數列{a_n+1}為等比數列；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

，將tanα=

2

-1代入可求解，由α為銳角，得α=

π

8

，從而計算得sin(2α+

π

4

)=1進而求得函數表達式．
（2）由a_n+1=2a_n+1，變形得a_n+1+1=2（a_n+1），由等比數列的定義可知數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．
（3）由（2）得a_n=2ⁿ-1，轉化為一個等比數列與一個等差數列的和的形式，可計算得Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α為銳角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=2x+1
（2）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1
∴數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．
（3）由上步可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2

點評：本題主要考查數列與三角函數的綜合運用，主要涉及了倍角公式，求函數解析式，證明數列以及前n項和．