Question

已知函數f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數y=f（x）的單調性并求出單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據條件，建立方程關系即可求a，b的值；
（2）求函數的導數，利用函數導數和函數單調性的關系，即可求f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

，
∴f（1）=a=

1

2

，即a=

1

2

，
函數的導數f′（x）=2ax+

b

x

，
∴f′（1）=2a+b=0，解得b=-1，
即a=

1

2

，b=-1．
（2）∵f（x）=

1

2

x²-lnx；函數的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

由f′（x）=0，解得x=1，
當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數單調遞減，
即函數的單調遞減區(qū)間為（0，1），單調遞增區(qū)間為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，根據條件求出a，b，c的值是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．