Question

給出下列命題：
①若A，B是銳角△ABC的兩內(nèi)角，則有sinA＞cosB；
②在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx與y=lgx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；
③如果

sinα-2cosα

3sinα+5cosα

=-5，那么tan α的值為-

23

16

；
④存在實(shí)數(shù)x，使得等式sinx+cosx=

3

2

成立；
⑤若0＜x≤1，則

sin2x

x2

＜

sinx

x

其中正確的命題為

 

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與誘導(dǎo)公式判斷①的正誤．對(duì)于②，利用函數(shù)圖象，求解；對(duì)于③，已知條件給的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，變?yōu)楹�正切的等式，解方程求出正切值．�?duì)于④，利用sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，對(duì)于⑤：則利用sinx＜x＜tanx，進(jìn)行求解判斷即可．

解答： 解：對(duì)于①：
A、B、C為銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∵A+B＞

π

2

，∴A＞

π

2

-B，
∴sinA＞sin（

π

2

-B），
即sinA＞cosB．∴①正確；
對(duì)于②：
畫(huà)出函數(shù)y=sinx和y=lgx的圖象，
結(jié)合圖象易知這兩個(gè)函數(shù)的圖象有3交點(diǎn)．


所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：
由題意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，

tanα-2

3tanα+5

=-5，
∴tanα=--

23

16

．
∴③正確；
對(duì)于④：
sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∵

3

2

＞

2

，
∴④錯(cuò)誤：
對(duì)于⑤：
∵當(dāng)x為銳角時(shí)，則有
sinx＜x＜tanx，
∴0＜

sinx

x

＜1，
∴

sin2x

x2

＜

sinx

x

，
故⑤正確；
故答案為①③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查命題的真假判斷，注意區(qū)分?jǐn)?shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．