Question

20．在如圖所示三棱錐D-ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．
（1）求證：BC⊥AD；
（2）求平面AEF將三棱錐D-ABC分成兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （1）由已知求解直角三角形可得AC⊥BC．再由平面ACD⊥平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面ACD，從而得AD⊥BC；
（2）取線段AC的中點(diǎn)O，連接DO，由AD=CD，得DO⊥AC．再由平面ACD⊥平面ABC，可得DO⊥平面ABC，然后求出三棱錐D-ABC和A-EBF的體積，利用等積法作差求得V_A-EFCD，則答案可求．

解答 （1）證明：在Rt△ADC中，AD=DC=2，AD⊥DC，∴$AC=2\sqrt{2}$，
在△ABC中，∵∠BAC=45°，AB=4，
∴BC²=AC²+AB²+2AC•AB•cos45°=${（2\sqrt{2}）^2}+{4^2}-2×2\sqrt{2}×4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=8$，
可得：$AC=BC=2\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²．則AC⊥BC．
又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面ACD，得AD⊥BC；
（2）解：取線段AC的中點(diǎn)O，連接DO，
∵AD=CD，∴DO⊥AC．
又∵平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，∴DO⊥平面ABC，
$DO=\sqrt{2}$，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•DO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
過點(diǎn)E作EG∥DO交BO于G，∴EG⊥平面ABC，
∵BD=3BE，∴$EG=\frac{1}{3}DO=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
∵BC=2BF，∴$BF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，
V_A-EBF═$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{9}$，
∴V_A-EFCD=V_D-ABC-V_E-ABF=$\frac{{10\sqrt{2}}}{9}$，
∴平面AEF將三棱錐D-ABC分成的兩部分的體積之比$\frac{{10\sqrt{2}}}{9}：\frac{{2\sqrt{2}}}{9}=5：1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了線面垂直的判定，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．