已知函數(shù)f（x）=ln|x|（x≠0），函數(shù)g（x）=
1
f′(x)
+af'（x）（x≠0）
（1）當(dāng)x≠0時，求函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求直線y=
2
3
x+
7
6
與函數(shù)y=g（x）的圖象所圍成圖形的面積．
分析：（1）分情況討論x的取值化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導(dǎo)函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可；
（2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a；
（3）先聯(lián)立直線與函數(shù)解析式求出交點，利用定積分求直線和函數(shù)圖象圍成面積的方法求出即可．
解答：解：（1）∵f
x
=ln|x|，
∴當(dāng)x＞0時，f
x
=lnx；當(dāng)x＜0時，f
x
=ln
-x

∴當(dāng)x＞0時，f′
x
=
1
x
；當(dāng)x＜0時，f′
x
=
1
-x
•
-1
=
1
x
．
∴當(dāng)x≠0時，函數(shù)y=g
x
=x+
a
x
．
（2）∵由（1）知當(dāng)x＞0時，g
x
=x+
a
x
，
∴當(dāng)a＞0，x＞0時，g
x
≥2
a
當(dāng)且僅當(dāng)x=
a
時取等號．
∴函數(shù)y=g
x
在
0，+∞
上的最小值是2
a
，∴依題意得2
a
=2∴a=1．
（3）由
y=
2
3
x+
7
6
y=x+
1
x
解得
x1=
3
2
y1=
13
6
，
x2=2
y2=
5
2

∴直線y=
2
3
x+
7
6
與函數(shù)y=g
x
的圖象所圍成圖形的面積S=
∫
2
 
3
2
[
2
3
x+
7
6
-
x+
1
x
]dx=
24
7
+ln3-ln4．
點評：考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)運算的能力，理解函數(shù)最值及幾何意義的能力，利用定積分求平面圖形面積的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案