Question

（08年全國(guó)卷2）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

Answer 1

解法一：依題設(shè)，，．

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則．

由三垂線定理知，．

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余．

于是．

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

 

依題設(shè)，．

，．

（Ⅰ）因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090319/20090319093342045.gif' width=81>，，

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．