分析 (1)對函數f(x)求導后知g(x),對g(x)求導后得到單調性.
(2)利用導函數求得F(x)的單調性及最值,然后對a分情況討論,利用F(x)無零點分別求得a的取值范圍,再取并集即可.
解答 解:(1)∵f(x)=ex2-x4,
∴f′(x)=12ex2-14,
∴g(x)=(x+1)(12ex2-14),
∴g′(x)=14[(x+3)ex2-1],
當x>-1時,g′(x)>0,
∴g(x)在(-1,+∞)上單調遞增.
(2)由F(x)=ln(x+1)-af(x)+4知,F′(x)=ax+1(1a-g(x)),
由(1)知,g(x)在(-1,+∞)上單調遞增,且g(-1)=0 可知當x∈(-1,+∞)時,g(x)∈(0,+∞),
則F′(x)=ax+1(1a-g(x))有唯一零點,
設此零點為x=t,易知x∈(-1,t)時,F′(x)>0,F(x)單調遞增;
x∈(t,+∞)時,F′(t)<0.F(x)單調遞減.
知F(x)max=F(t)=ln(t+1)-af(t)+4,
其中a=1g(t),
令G(x)=ln(x+1)-f(x)g(x)+4,
則G′(x)=f(x)g′(x)[g(x)]2,
易知f(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
∴G′(x)>0,G(x)在(-1,+∞)上單調遞增,且G(0)=0,
①當0<a<4時,g(t)=1a>14=g(0),
由g(x)在(-1,+∞)上單調遞增,知t>0,則F(x)max=F(t)=G(t)>G(0)=0,
由F(x)在(-1,t)上單調遞增,-1<e-4-1<0<t,f(x)>0,g(t)>0在(-1,+∞)上均恒成立,
則F(e-4-1)=-af(e-4-1)<0,
∴F(t)F(e-4-1)<0
∴F(x)在(-1,t)上有零點,與條件不符;
②當a=4時,g(t)=1a=14=g(0),由g(x)的單調性可知t=0,
則F(x)max=F(t)=G(t)=G(0)=0,此時F(x)有一個零點,與條件不符;
③當a>4時,g(t)=1a<14=g(0),由g(x)的單調性知t<0,
則F(x)max=F(t)=G(t)<G(0)=0,此時F(x)沒有零點.
綜上所述,當F(x)=ln(x+1)-af(x)+4無零點時,正數a的取值范圍是a∈(4,+∞).
點評 本題考查函數的綜合應用,以及導數在研究函數中的應用.
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A. | 0 | B. | \frac{\sqrt{2}}{2} | C. | \sqrt{2} | D. | -\sqrt{2} |
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A. | -4 | B. | -8 | C. | 8 | D. | 4 |
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