Question

已知函數f（x）=

a

2

lnx+（a+1）x²+1
（Ⅰ）當a=-

1

2

時，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]的最小值
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的最值及其幾何意義

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=-

1

2

帶入f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1，通過求導，根據其符號即可判斷f（x）取得極小值的情況，從而得出最小值；
（Ⅱ）求f′（x）=

a+4(a+1)x2

2x

，討論a的取值：分a≤-1，-1＜a＜0，和a≥0三種情況，根據其符號即可判斷其單調性．

解答： 解：（Ⅰ）a=-

1

2

時，f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1；
f′(x)=-

1

4x

+x=

4x2-1

4x

；
∴x∈[

1

e

，

1

2

）時，f′（x）＜0，x∈（

1

2

，e]時，f′（x）＞0；
∴x=

1

2

時，f（x）在[

1

e

，e]上取到最小值

1

4

ln2+

9

8

；
（Ⅱ）f′（x）=

a

2x

+2(a+1)x=

a+4(a+1)x2

2x

；
∴①若a≤-1，則f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，+∞）是減函數；
②若-1＜a＜0，則：
x∈（0，

1

2

-a a+1

）時，f′（x）＜0；x∈（

1

2

-a a+1

，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，

1

2

-a a+1

]上是減函數，在（

1

2

-a a+1

，+∞）上是增函數；
③若a≥0，則f′（x）＞0；
∴此時f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：考查根據導數符號判斷函數取得極值的情況，以及根據導數求函數最小值的方法與過程，根據導數符號判斷函數單調性的方法．