Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{a-1}$（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性和單調性；
（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+l）對任意x∈[-1，1]恒成立；q：函數(shù)g（x）=lnx-bx+1（b∈R）有零點，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的奇偶性定義證明f（x）是奇函數(shù)，同時兩個在相同區(qū)間具有相同單調性，相加后單調性不變；
（2）命題P：若不等式af（x）≤2b（a+1）對任意x∈[-1，1]恒成立，即af（x）_max≤2b（a+1），命題q：利用導數(shù)求出最大值判斷．

解答 解：（1）∵x∈R，且$f（-x）=\frac{{a}^{-x}-{a}^{x}}{a-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
當a＞1時，a-1＞0，y=a^x為增函數(shù)，y=a^-x為減函數(shù)，
則y=a^x-a^-x為增函數(shù)，∴f（x）為增函數(shù)；
當0＜a＜1時，a-1＜0，y=a^x為減函數(shù)，y=a^-x為增函數(shù)．
則y=a^x-a^-x為減函數(shù)，∴f（x）為增函數(shù)．
綜上，當a＞0且a≠1時，f（x）為增函數(shù)．
（2）由（1）知，f（x）在R上是增函數(shù)，a＞0，則af（x）在[-1，1]上的最大值為af（1）=a+1．
若不等式af（x）≤2b（a+1）對任意x∈[-1，1]恒成立．
則不等式2b（a+1）≥a+1，從而b$≥\frac{1}{2}$．
y=f（x）有零點，即方程lnx-bx=1=0有解，b=$\frac{lnx+1}{x}$．
令g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g'（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$
g'（x）=0解得x=1，則g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
當x=1時，g（x）的最大值為g（1）=1，所以b≤1．
∵p或q為真，p且q為假∴命題p，q一真一假．
若p真q假，則有b＞1；若p假q真，則b＜$\frac{1}{2}$．
故實數(shù)b的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調性證明，命題以及導數(shù)在函數(shù)最值中的應用，屬中等題型．