Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)函數(shù)，滿足當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)-

2

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、不確定

Answer 1

分析：滿足當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，可得：當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0．
令h（x）=xg（x）=xf（x）-2，可得h′（x）=f（x）+xf′（x），因此當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．即可得出函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵滿足當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0；
當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0．
令h（x）=xg（x）=xf（x）-2，
則h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)-

2

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為：0，1，2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于難題．