Question

（2012•東至縣模擬）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

，且f（x）在x=1處取極值．
（Ⅰ）確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）證明：當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，恒有x＜

2+lnx

2-lnx

成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）在x=1處取極值，求得a的值，從而可得g（x）=x-2

x

，再求導(dǎo)函數(shù)，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ） 當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，0＜lnx＜2，要證x＜

2+lnx

2-lnx

等價(jià)于x（2-lnx）＜2+lnx，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，構(gòu)造h（x）=lnx-

2(x-1)

1+x

，證明h（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)，從而當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，故問(wèn)題得證．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=x²-alnx，則f′(x)=2x-

a

x

，
∵f（x）在x=1處取極值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2

x

，∴g′(x)=1-

1

x

．
由g′(x)=1-

1

x

＞0，可得x＞1，由g′(x)=1-

1

x

＜0，可得0x＜1，…（…（5分）
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，0＜lnx＜2，要證x＜

2+lnx

2-lnx

等價(jià)于x（2-lnx）＜2+lnx，即lnx＞

2(x-1)

1+x

設(shè)h（x）=lnx-

2(x-1)

1+x

，則h′（x）=

1

2

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
∴當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，h′（x）＞0，
所以h（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)．…（12分）
從而當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，故x＜

2+lnx

2-lnx

 …（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，解題的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建新函數(shù)．