Question

設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點A（1，）到F₁，F(xiàn)₂兩點的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（1，）的直線與橢圓交于兩點D、E，若DP=PE，求直線DE的方程；
（3）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知點的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點坐標．
（2）設出DE方程，代入橢圓方程，利用中點坐標公式，求出斜率，即可求直線DE的方程；
（3）（3）直線MN不與y軸垂直，設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程，求出△OMN面積，利用導數(shù)，確定單調性，可得面積最大值，從而可求直線MN的方程．
解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點A（1，） 在橢圓上，因此，得b²=1，于是c²=3，
所以橢圓C的方程為，…（4分）
（2）顯然直線DE斜率存在，設為k，方程為，設D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），則
由，消去y可得
∴，∴k=-1
∴DE方程為y-1=-1（x-），即4x+4y=5；…（9分）
（3）直線MN不與y軸垂直，設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，y₁y₂=-，且△＞0成立．
又S_△OMN=|y₁-y₂|=×=，
設t=≥，則S_△OMN=，
（t+）′=1-t^-2＞0對t≥恒成立，∴t=時，t+取得最小，S_△OMN最大，此時m=0，
∴MN方程為x=1；…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關鍵．