如圖，四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=
2
．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．
解；（Ⅰ）證明：∵PD=DC=1，PC=
2
，
∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，…（2分）
又∵PD⊥BC，BC∩CD=C，
∴PD⊥面ABCD…（7分）
（Ⅱ）連接BD，設BD交AC于點O，
過O作OE⊥PB于點E，連接AE，
∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD，
又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB，
又∵OE⊥PB，OE∩AO=O，
∴PB⊥平面AEO，從而PB⊥EO，
故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD，
∴在Rt△PDB中，PB=
PD2+BD2
=
1+2
=
3
，
又∵
OE
PD
=
OB
PB
，∴OE=
6
6
，…（12分）
tan∠AEO=
AO
OE
=
2
2
6
6
=
3
，∴∠AEO=60°．
故二面角A-PB-D的大小為60°．…（15分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AD1與平面BB1D1D所成角的大小是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在棱長都為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，P是A1B的中點．
（Ⅰ）求PC與平面ABB1A1所成的角；
（Ⅱ）求C1到平面PAC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知邊長為
m
的正方形ABCj沿對角線AC折成直二面角，使j到P的位置．
（四）求直線PA與BC所成的角；
（m）若M為線段BC上的動點，當BM：BC為何值時，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D異于B、C）且AD⊥DE．
（1）求證：面ADE⊥面BCC1B1
（2）若△ABC為正三角形，AB=2，AA1=4，E為CC1的中點，求二面角E-AD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為棱BC，B1C1的中點．
（1）求證：直線A1D1∥平面ADC1．
（2）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（3）設底面邊長為2，側棱長為4，求二面角C1-AD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

三棱錐S-ABC中，底面為邊長為6的等邊三角形，SA=SB=SC，三棱錐的高為
3
，則側面與底面所成的二面角為（　�。�
A．45°B．30°C．60°D．65°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形ABCD所在平面與矩形ACEF所在平面垂直，其中AB=
2
，AF=1，M是EF中點．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-BD-F的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BB1⊥底面ABC，D為棱AC的中點，E為棱A1C1的中點，且AB=BC=BB1=1．
（1）求證：CE∥平面BA1D．
（2）求二面角A1-BD-C的余弦值．
（3）棱CC1上是否存在一點P，使PD⊥平面A1BD，若存在，試確定P點位置，若不存在，請說明理由．

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