【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=0時(shí),f(x)=xe2x﹣lnx,
∴ , ,
∴函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
又函數(shù)f′(x)的值域?yàn)镽,
故x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e ﹣ =0,
又∵ ,∴ ,∴當(dāng)x∈[ ,1]時(shí),f′(x)>0,
即函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,1]上遞增,∴
(2)解: ,
由(1)知函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且x0>0,使得f′(x0)=0,
進(jìn)而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,
﹣lnx0﹣ax0,
由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣ ﹣a=0,
∴ ,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02 ,
∵x>0,不等式f(x)≥1恒成立,
∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0,
設(shè)h(x0)=lnx0+2x e ,則h(x0)為增函數(shù),且有唯一零點(diǎn),設(shè)為t,
則h(t)=lnt+2t2e2t=0,則﹣lnt=2t2e2t,即 ,
令g(x)=xex,則g(x)單調(diào)遞增,且g(2t)=g( ),
則2t=ln ,即 ,
∵a=(2x0+1) ﹣ 在(0,t]為增函數(shù),
則當(dāng)x0=t時(shí),a有最大值, = ,
∴a≤2,∴a的取值范圍是(﹣∞,2]
(3)解:由f( )﹣1≥ ,
得 ,
∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 對(duì)任意x>0成立,
令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴ ,
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣ ,
∴a≤﹣1﹣ .
∴a的取值范圍是(﹣∞,﹣1﹣ )
【解析】(1)a=0時(shí), , ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值.(2) ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0 , +∞)上遞增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范圍.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 對(duì)任意x>0成立,令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,則 ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
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【題目】把函數(shù) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍,再向左平移 ,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形,E,F(xiàn)分別是A1C1 , B1C1上的點(diǎn),且滿足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求證:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長(zhǎng)均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
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【題目】在試制某種洗滌劑新產(chǎn)品時(shí),不同添加劑的種類以及添加的順序?qū)Ξa(chǎn)品的性質(zhì)都有影響,需要對(duì)各種不同的搭配方式做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較.現(xiàn)有芳香度分別為1,2,3,4,5,6的六種添加劑可供選用,根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理,需要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑先后添加進(jìn)行實(shí)驗(yàn).
(1)求兩種添加劑芳香度之和等于5的概率;
(2)求兩種添加劑芳香度之和大于5,且后添加的添加劑芳香度較大的概率.
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【題目】某種水果的單個(gè)質(zhì)量在500g以上視為特等品.隨機(jī)抽取1000個(gè)該水果,結(jié)果有50個(gè)特等品.將這50個(gè)水果的質(zhì)量數(shù)據(jù)分組,得到下邊的頻率分布表.
(1)估計(jì)該水果的質(zhì)量不少于560g的概率;
(2)若在某批水果的檢測(cè)中,發(fā)現(xiàn)有15個(gè)特等品,據(jù)此估計(jì)該批水果中沒有達(dá)到特等品的個(gè)數(shù).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax,(a∈R),其圖象與x軸交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)兩點(diǎn),且x1<x2
(1)求a的取值范圍;
(2)證明: ;(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))
(3)設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)f(x)的圖象上,且△ABC為等邊三角形,記 ,求(t﹣1)(a+ )的值.
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(1)設(shè)A為事件“兩次擲‘骰子’的點(diǎn)數(shù)和為16”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè)X為兩次擲“骰子”的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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