Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x-a•2^-x為奇函數(shù)．
（1）求a的值，并判斷f（x）的單調(diào)性（不用給證明）；
（2）t為實(shí)數(shù)，且f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，列出方程求出a，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）由奇函數(shù)f（x）的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，由二次函數(shù)的恒成立列出不等式求出t的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x-a•2^-x為奇函數(shù)，∴f（0）=0，
則1-a=0，解得a=1，即f（x）=2^x-2^-x=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$，
∵函數(shù)y=2^x、y=-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在定義域上是增函數(shù)，
∴f（x）=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在R上單調(diào)遞增；
（2））∵f（x）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，
∴f（x-t）+f（x²-t²）≥0化為：f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（-x+t），
∴x²-t²≥-x+t，則x²+x-t²-t≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴△=1²-4×1×（-t²-t）≤0，則（2t+1）²≤0，解得t=$-\frac{1}{2}$，
∴t的值是$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．