Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）-c恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=f（ax）（a＜0）的最大值M（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)y=f（x）的解析式，求出它的單調(diào)區(qū)間以及極值、最值，結(jié)合f（x）的圖象和直線y=c有2個(gè)交點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y=f（ax）的最大值．

解答： 解：由題意知（Ⅰ）f(x)=

-x2+x+1，|x|≤1 x2+x-1，|x|＞1

，
易知 f（x）在（-∞，-1]，[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[-1，

1

2

]，[1，+∞）上單調(diào)遞增．
又f(-1)=-1，f(

1

2

)=

5

4

，f(1)=1，y=f（x）-c恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
即方程f（x）=c恰有兩個(gè)不等實(shí)根，∴c∈(-1，1)∪(

5

4

，+∞)．

（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（ax）（a＜0），
∴g（x）=

-a2•x2+ax+1，|x|≤- 1 a a2•x2+ax-1，|x|＞- 1 a

，
∴g（x）在(-∞，

1

a

]，[

1

2a

，-

1

a

]上單調(diào)遞減，在[

1

a

，

1

2a

]，[-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞增，
（1）當(dāng)

1

2a

≤-1，即a≥-

1

2

時(shí)g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴此時(shí)M（a）=g（-1）=-a²-a+1．
（2）當(dāng)

1

a

≤-1＜

1

2a

，即-1≤a＜

1

2

時(shí)，g（x）在[-1，

1

2a

]上單調(diào)遞增，
g（x）在[

1

2a

，1]上單調(diào)遞減，∴此時(shí)M(a)=g(

1

2a

)=

5

4

．
（3）當(dāng)-1＜

1

a

，即a＜-1時(shí)g（x）在[-1，

1

a

]，[

1

2a

，-

1

a

]上單調(diào)遞減，
g（x）在[

1

a

，

1

2a

]，[-

1

a

，1]上單調(diào)遞增，
∴此時(shí)，M(a)=max{g(-1)，g(

1

2a

)，g(1)}=max{a2-a-1，

5

4

，a2+a-1}
=max{a2-a-1，

5

4

}=

a2-a-1，a≤ 1- 10 2 5 4 ， 1- 19 2 ＜a＜-1

．
綜上所述：M（a）=

-a2-a+1，- 1 2 ≤a＜0 5 4 ， 1- 10 2 ＜a＜- 1 2 a2-a-1，a≤ 1- 10 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用單調(diào)性求函數(shù)的極值和最值，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．