Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函數(shù)．y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與X軸平行．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)g（x）=lnf（x），當(dāng)，x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：f'（x）=e^ax[ax^2_-（a^2_-2）x]
（1）因?yàn)閒（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與X軸平行．
f'（1）=0，即a-a²+2=0
解得a=-1或2
（2）由f'（x）=e^ax[ax^2_-（a^2_-2）x]得
①a=2時(shí)，f'（x）=e^2x_（2x^2_-2x）
由f'（x）＞0得
x＞1或x＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）
②a=-1時(shí)，令f'（x）＞0得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是 （-∞，0）和（1，+∞）
（III）當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知a=2
∵g（x）=lnf（x）=ln（x²-2x+1）+2x
假設(shè)存在兩點(diǎn)A、B，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，則由
g'（x）=
知斜率k₁=g'（x₁）= k₂=g'（x₂）=
且k₁•k_2^=-1
∵x∈（1，+∞）
∴x1-1＞0，x2-1＞0
∴，因此上式矛盾！故假設(shè)不成立．
∴函數(shù)上不存在兩點(diǎn)A、B，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直．
分析：（I）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，最后由平行直線(xiàn)的斜率相等方程求a的值即可；
（II）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)，令導(dǎo)數(shù)fˊ（x）＞0，解不等式即可求出f（x）的單調(diào)性；
（III）先由（I）得出a的值，然后假設(shè)存在兩點(diǎn)使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)k₁•k_2^=-1，列出關(guān)于x_1、x₂的不等式，推出矛盾就可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、兩條直線(xiàn)平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查推理能力．