已知:a,b,c,d∈R,求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
證明:解法1 (分析法)要證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),(2分)
即證:a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ,(4分)
即證:2abcd≤a2d2+b2c2 ,(6分)
即證:0≤a2d2+b2c2-2abcd=(ad+bc)2,(8分)
上式明顯成立.(10分) 故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(12分)
解法2 (綜合法)因為a2d2+b2c2≥2abcd(重要不等式)(3分)
所以(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd(6分)≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2(9分)=(a2+b2)(c2+d2)(12分)
解法3 (作差法)因為(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2(2分)=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+b2d2+2abcd)(5分)
=b2c2+a2d2-2abcd(8分)=(b2c2-a2d2)2≥0(10分)
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). (12分)
分析:解法1 分析法:分析使不等式成立的充分條件,經(jīng)過分析,使不等式成立的充分條件顯然成立,從而證得結(jié)論.
解法2 綜合法:利用重要不等式 a2d2+b2c2≥2abcd,把(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd 放大,即得要證的不等式.
解法3 作差法:把(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 展開化簡化成完全平方的形式判斷符號,可得其值大于或等于0,從而證得不等式成立.
點評:本題考查用分析法、綜合法、作差比較法證明不等式,式子的變形時解題的關(guān)鍵.