Question

（本題滿分13分）已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;

（Ⅱ）若,且關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域是，由于函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在時恒成立，即在恒成立. 解法一：因為，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸，問題轉(zhuǎn)化為；即可求出a的范圍；解法二，分離變量，得在恒成立，即 ，當(dāng)時，取最小值，即可求出a 的范圍； （Ⅱ）由題意，即，

設(shè)則列表可知，，又，方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根.根據(jù)函數(shù)圖象可知， 即可求出b的范圍.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）的定義域是，求導(dǎo)得

依題意在時恒成立，即在恒成立. 3分

這個不等式提供2種解法，供參考

解法一：因為，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸，問題轉(zhuǎn)化為

所以，所以的取值范圍是 6分

解法二，分離變量，得在恒成立，即

當(dāng)時，取最小值，∴的取值范圍是 6分

（Ⅱ）由題意，即，

設(shè)則列表：

	?	極大值	?	極小值	?

 

∴，，又 10分

方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根.

則， 得 （注意） 13分.

考點：1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；2.函數(shù)的零點與方程的根.