Question

已知函數(shù)g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)討論a的范圍，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，滿(mǎn)足題意，通過(guò)討論x₁，x₂的大小，得不等式組，求出a無(wú)解，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

x²+（a-2）x-2alnx（x＞0），
f′（x）=x+a-2-

2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

（x＞0），
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)-2＜a≤0時(shí)，f（x）在（0，-a）上是增函數(shù)；在（-a，2）是減函數(shù)；在（2，+∞）上是增函數(shù)．
③當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
④當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（0，2）上是增函數(shù)；在（2，-a）上是減函數(shù)；在（-a，+∞）上是增函數(shù)．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a恒成立，
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，等價(jià)于 f（x₂）-f（x₁）＜a（x₁-x₂）即f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax₁ 恒成立．
令g（x）=f（x）+ax=

1

2

x²-2alnx-2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒為增函數(shù)，所以g′（x）≥0恒成立即可．
又g′（x）=x-

2a

x

-2+2a=

x2+(2a-2)x-2a

x

，只要x²+（2a-2）x-2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．
設(shè)h（x）=x²+（2a-2）x-2a，則由△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0及

h(0)=-2a＞0 - 2a-2 2 ≤0

得

a＜0 a≥1

，a∈∅，
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，等價(jià)于 f（x₂）-f（x₁）＞a（x₁-x₂）即f（x₂）+ax₂＞f（x₁）+ax₁ 恒成立，
g（x）在（0，+∞）上恒為增函數(shù)，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，
綜上所述，不存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．