Question

已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)M（1，a）
（1）若a=3，求過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線的切線長(zhǎng)．
（2）若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓的圓心與半徑，利用圓心到（1，3）的距離與半徑、切線長(zhǎng)滿足勾股定理，求出切線長(zhǎng)即可．
（2）若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，則等價(jià)為M在圓上，求出a，即可求出切線方程．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3，圓O：x²+y²=4，它的圓心坐標(biāo)（0，0），半徑為2，
圓心到M（1，3）的距離d=

12+32

=

10

，
所以切線長(zhǎng)為：

( 10 )2-4

=

10-4

=

6

．
（2）若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，
則M在圓上，即1+a²=4，
即a²=3，解得a=±

3

．
則OM的斜率k=

a

1

=a，
則切線的斜率k=-

1

a

，
則切線方程為y-a=-

1

a

（x-1），
即x+ay-a²-1=0，
若a=

3

，則切線方程為x+

3

y-4=0，
若a=-

3

，則切線方程為x-

3

y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．