Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時，f(x)=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當λ為何值時，關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數(shù)解？

Answer 1

分析：（1）可設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2）由x∈（0，2）時，f(x)=

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

可求f（-x），再由奇函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進行證明即可
（3）轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f（x）在（-2，2）上的值域，結(jié)合（2）可先求f（x）在（0，2）上的值域，然后結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可求在（-2，0）上的值域

解答：解：（1）設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2）
∵x∈（0，2）時，f(x)=

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

∴f(-x)=

1

3x+ 1 3x

由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得，f（-x）=-f（x）
∴f(x)=-

1

3x+ 1 3x

∵f（0）=0，
∵周期為4且為奇函數(shù)，f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（-2）=f（2）=0
f(x)=

1 3x+3-x ，x∈(0，2) 0，x=0，±2 -1 3x+3-x ，x∈(-2，0)

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜2
令g(x)=3x+

1

3x

則g(x1)-g(x2)=3x1+

1

3x1

-3x2-

1

3x2

=(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

=(3x1-3x2)(1-

1

3x13x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜2
∴g（x₁）＜g（x₂）
∴函數(shù)g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，且g（x）＞0
∴f（x）在（0，2）單調(diào)遞減
（3）由（2）可得當0＜x＜2時，f(x)=

1

3x+3-x

單調(diào)遞減
故

9

82

＜f(x)＜

1

2

由奇函數(shù)的對稱性可得，x∈（-2，0）時，-

1

2

＜f(x)＜-

9

82

當x=0時，f（0）=0
∵關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數(shù)解
∴

9

82

＜λ＜

1

2

或-

1

2

＜λ＜-

9

82

或λ =0

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的奇函數(shù)的 性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，及利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷函數(shù)單調(diào)性的問題，還考查了方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用，屬于綜合試題