Question

已知向量

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最大值及相應的x的值；
（2）若f(θ)=

8

5

，求cos2(

π

4

-2θ)的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則可求得函數(shù)f（x）的解析式，進而利用二倍角公式和兩角和公式化簡整理利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和相應的x的值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式和f(θ)=

8

5

求得sin2θ-cos2θ=

3

5

兩邊平方利用同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式求得sin4θ的值，最后利用誘導公式，把sin4θ的值代入即可．

解答：解：（1）因為

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，
所以f（x）=1+sin2x+sin²x-cos²x=1+sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1
因此，當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3

8

π（k∈Z）時，f（x）取得最大值

2

+1；

（2）由f（θ）=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=

8

5

得sin2θ-cos2θ=

3

5

，
兩邊平方得1-sin4θ=

9

25

，即sin4θ=

16

25

．
因此，cos2(

π

4

-2θ)=cos(

π

2

-4θ)=sin4θ=

16

25

．

點評：本題主要考查了利用兩角和公式和二倍角公式化簡求值，誘導公式的運用，平面向量的運算．考查了學生綜合運用基礎知識的能力．