Question

【題目】已知函數f（x）=x（lnx﹣ax）．
（1）a= 時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）存在兩個不同的極值x1 ， x2 ， 求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x（lnx﹣ax），

∴f′（x）=lnx﹣2ax+1，

當a= 時，f′（1）=0，且f（1）=﹣ ，

∴過點（1，f（1））的切線方程為y=﹣

（2）解：令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，則 ，

當a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

g（x）與X軸只有一個交點即f（x）只有一個極值點，不合題意．

當a＞0時，x∈（0， ）時，g′（x）＞0，g（x）在（0， ）上遞增，

x∈（ ）時，g′（x）＜0，g（x）在（ ）上遞減，

只需g（ ）=ln ＞0，即0＜a＜ 時，f（x）有兩個極值點

故0＜a＜

（3）解：由（2）知 0＜a＜ 時，f（x）有兩個極值點x1，x2，

f（x）在（0，x1）上遞減，在（x1，x2）上遞增，在（x2，+∞）上遞減，

又f′（1）=1﹣2a＞0，則0＜x1＜1，且lnx1﹣2ax1+1=0，

解得a= ，此時a﹣x1= ，

令h（x）=lnx+1﹣2x2，（0＜x＜1）， ，

從而h（x）在（0， ）上遞增，（ ，1）上遞減，

故h（x）≤h（ ）=ln ，

所以a＜x1，又f（x）在（0，x1）上遞減，

從而f（x）的最小值為f（a）=a（lna﹣a2）

【解析】（1）求出f′（x）=lnx﹣2ax+1，由此利用導數的幾何意義能出過點（1，f（1））的切線方程． （2）令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，則 ，由此利用導數性質及分類討論思想能求出a的取值范圍．（3）0＜a＜ 時，f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， f（x）在（0，x1）上遞減，在（x1 ， x2）上遞，在（x2 ， +∞）上遞減，令h（x）=lnx+1﹣2x2 ， （0＜x＜1）， ，由此利用導數性質能求出f（x）的最小值．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．