Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x2+x+4，是開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x= 的二次函數(shù)，

g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時(shí)f（x）≥g（x）的解集為（1， ]；

當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．

綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1， ]；

（2）

依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，則只需 ，解得﹣1≤a≤1，

故a的取值范圍是[﹣1，1]．

【解析】（1.）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三類討論，結(jié)合g（x）與f（x）的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）≥g（x）的解集為[﹣1， ]；
（2.）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需 ，解之即可得a的取值范圍．