Question

12．（1）焦點(diǎn)在 x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，離心率為$\frac{4}{5}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{3}{2}$x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得橢圓的半長(zhǎng)軸a=6，半焦距c=2，從而可求得半短軸b，于是可得橢圓的方程；
（2）先確定a的值，再分類討論，求出b的值，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，
則2a=10，a=5，
又由橢圓的離心率為$\frac{4}{5}$，
則$\frac{c}{a}=\frac{c}{5}=\frac{4}{5}$，
故c=4．
∴b²=a²-c²=9．
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由題意2a=6，∴a=3．
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{3}=\frac{3}{2}$，∴b=$\frac{9}{2}$，
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{\frac{81}{4}}=1$；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，∵雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{3}=\frac{3}{2}$，∴b=2，
∴方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{\frac{81}{4}}=1$或$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查理解與運(yùn)算能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．