Question

20．已知函數f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和最小值；
（2）若對任意x∈[1，2]，f（x）≥2m-1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間從而求出函數的最小值即可；
（2）問題轉化為2m-1≤f（x）在[1，2]的最小值即可，而f（x）在[1，2]的最小值為f（1）=0，從而求出m的范圍即可．

解答 解 （1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴f′（x）＞0 有x＞$\frac{1}{e}$，
∴函數f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上遞增，
f′（x）＜0有0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函數f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上遞減，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得最小值，最小值為f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（2）由（1）知f（x）在[1，2]遞增，
所以只需2m-1≤f（x）在[1，2]的最小值即可，
而f（x）在[1，2]的最小值為f（1）=0，
∴2m-1≤0即m≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．