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探究函數f（x）=x2+
2
x
(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
x … 0.25 0.5 0.75 1 1.1 1.2 1.5 2 3 5 …
y … 8.063 4.25 3.229 3 3.028 3.081 3.583 5 9.667 25.4 …
已知：函數f（x）=x2+
2
x
(x＞0)在區(qū)間（0，1）上遞減，問：
（1）函數f（x）=x2+
2
x
(x＞0)在區(qū)間
[1，+∞）
[1，+∞）
上遞增．當x=
1
1
時，y最小=
3
3
；
（2）函數g(x)=9x2+
2
3|x|
在定義域內有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）
分析：（1）由表中數據可推測函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，從而當x=1 時，y最小=3，證明此結論可利用導數或均值定理；
（2）利用換元法，設t=|3x|，將函數g（x）轉化為函數f（t），利用（1）中的結論求最值即可
解答：解：（1）由表中數據可知：函數f（x）=x2+
2
x
(x＞0)在區(qū)間[1，+∞）上遞增．
當x=1 時，y最小=3．
故答案為[1，+∞），1，3
（2）由函數g（x）=9x2+
2
3|x|
=（3x）2+
2
|3x|
=t2+
2
t
，（令t=|3x|），
由（1）知函數g（x）有最小值3，
又因為g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函數，
所以函數g（x）取得最小值時t=3|x|=1，即x=±
1
3
點評：本題主要考查了利用列表法研究函數性質的方法，利用換元法求函數最值的方法，轉化化歸的思想方法
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減，函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
 
上遞增；
（2）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)，當x=
 
時，y最小=
 
；
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f（x）=x+
4
x
  x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）若當x＞0時，函數f（x）=x+
4
x
時，在區(qū)間（0，2）上遞減，則在
 
上遞增；
（2）當x=
 
時，f（x）=x+
4
x
，x＞0的最小值為
 
；
（3）試用定義證明f（x）=x+
4
x
，x＞0在區(qū)間上（0，2）遞減；
（4）函數f（x）=x+
4
x
，x＜0有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？
解題說明：（1）（2）兩題的結果直接填寫在答題卷中橫線上；（4）題直接回答，不需證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

觀察下列表格，探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性質，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．
當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數f(x)=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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