Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1（n∈N^*），
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=

3

an•an+2

，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，若T_m+b_m-1＞

1

2014

成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-1，得S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），S₁=a₁=2a₁-1，從而{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出a_n=2^n-1．
（2）由b_n=

3

an•an+2

=

3

2n-1•2n+1

=

3

4n

，得T_n=1-

1

4n

，從而

2

4m

＞

1

2014

，由此能求出正整數(shù)m的最大值．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1（n∈N^*），①
∴S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理，得a_n=2a_n-1，
又S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=

3

an•an+2

=

3

2n-1•2n+1

=

3

4n

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

3 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

4n

，
∵T_m+b_m-1＞

1

2014

成立，
∴1-

1

4m

+

3

4m

-1＞

1

2014

，即

2

4m

＞

1

2014

，
解得m＜6，∵m∈N^*，∴正整數(shù)m的最大值是5．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．