Question

已知函數(shù)f（x）與g（x）的公共定義域為I，函數(shù)h（x）滿足：對任意x∈I，點（x，h（x））與點（x，g（x））均關于點（x，f（x））對稱，若f（x）=alnx-x²+ax（a＞0），對任意x∈R，函數(shù)g（x）滿足2g（x）-g（1-x）=2e^x-

1

ex-1

+1，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，有下列命題：
①當a=1時，曲線y=h（x）在x=1處的切線的斜率為-e-2；
②當a=1，x∈[1，+∞）時，函數(shù)h（x）的值域為（-∞，-e-1]；
③若函數(shù)f（x）在（0，2）內不單調，則a的取值范圍為（0，2）；
④設函數(shù)F（x）=bln[g（x）-1]+f′（x）+2x-a，其中b＞0，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，若O為坐標原點，函數(shù)F（x）的圖象為C，則對任意點M∈C，都存在唯一點N∈C，使得tan∠MON=b．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：運用中點坐標公式可得2f（x）=g（x）+h（x），再由x換為1-x，運用函數(shù)方程的思想可得g（x），h（x），
求出h（x）的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義，即可得到切線的斜率，即可判斷①；求出h（x）的導數(shù)，判斷[1，+∞）的單調性，即可得到值域，進而判斷②；若函數(shù)f（x）在（0，2）內單調，運用導數(shù)和不等式恒成立求得a的范圍，再求補集，即可判斷③；先化簡F（x），令h（x）=bx，判斷y=bx為F（x）的漸近線，檢驗在函數(shù)f（x）圖象上任取兩點M，N，∠MON＜arctanb或∠MON＞π-arctanb，即可判斷④．

解答： 解：由題意可得2f（x）=g（x）+h（x），又對任意x∈R，函數(shù)g（x）滿足2g（x）-g（1-x）=2e^x-

1

ex-1

+1，將x換為1-x，可得2g（1-x）-g（x）=2e^1-x-e^x+1，消去g（1-x），可得g（x）=e^x+1，h（x）=2f（x）-g（x）=2alnx-2x²+2ax-e^x-1，
對于①，當a=1時，y=h（x）=2lnx-2x²+2x-e^x-1的導數(shù)為y′=

2

x

-4x+2-e^x，曲線y=h（x）在x=1處的切線的斜率為2-4+2-e=-e，則①錯；
對于②，當a=1，x∈[1，+∞）時，y=h（x）=2lnx-2x²+2x-e^x-1的導數(shù)為y′=

2

x

-4x+2-e^x＜0，
函數(shù)h（x）遞減，即有h（x）≤h（1）=-e-1，則②正確；
對于③，若函數(shù)f（x）在（0，2）內單調，f（x）=alnx-x²+ax（a＞0）的導數(shù)為f′（x）=

a

x

-2x+a，
即有f′（x）=

-2x2+ax+a

x

，若f（x）在（0，2）內遞增，即有-2x²+ax+a≥0在（0，2）恒成立，
即a≥

2x2

x+1

=2[

1

x+1

+（x+1）-2]，由x∈（0，2），x+1∈（1，3），可得2[

1

x+1

+（x+1）-2]∈（0，

8

3

），
即有a≥

8

3

；若f（x）在（0，2）內遞減，即有-2x²+ax+a≤0在（0，2）恒成立，
即a≤

2x2

x+1

=2[

1

x+1

+（x+1）-2]，由x∈（0，2），x+1∈（1，3），可得2[

1

x+1

+（x+1）-2]∈（0，

8

3

），
即a≤0，與a＞0矛盾，綜上可得若函數(shù)f（x）在（0，2）內不單調，則a的取值范圍為（0，

8

3

）
則③錯；
對于④，函數(shù)F（x）=bln[g（x）-1]+f′（x）+2x-a=blne^x+

a

x

-2x+a+2x-a=bx+

a

x

，
令h（x）=bx，則F（x）-h（x）=bx+

a

x

-bx=

a

x

，（a＞0，b＞0），
當x→+∞時，

a

x

→0，h（x）=bx是函數(shù)y=bx+

a

x

的漸近線，
在函數(shù)F（x）圖象上任取兩點M，N，∠MON＜arctanb或∠MON＞π-arctanb，
則tan∠MON＞b或-b＜tan∠MON＜0，即此時不存在這樣的兩點M，N，使得tan∠MON=b，則④錯誤．
綜上可得，其中真命題的個數(shù)為1．
故選：A．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和求單調區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調性的運用，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．